sistem persamaan linier

 
SISTEM PERSAMAAN LINIER
1. PENGANTAR SISTEM PERSAMAAN LINIER
Persamaan linier secara umum mempunyai bentuk


a1x1 + a2x2 +.....+ anxn = b;



dengan ai dan b adalah bilangan-bilangan real, i = 1; 2;.....; n. Dalam persaman linear  termuat n buah variabel yaitu x1; x2; ..... xn. Yang dimaksud penyelesaian per-samaan linear dengan n variabel adalah bilangan-bilangan real
x1 = r1; x2 = r2; : : : ; xn = rn
yang memenuhi persamaan linier tersebut.

Sistem persamaan linier adalah koleksi sebanyak berhingga persamaan-persamaan lin-ier. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n variabel adalah sebagai berikut :
a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn = b2
…………………………..............
……………………………..........
am1x1 + am2x2 + ….+ amnxn = bm
dimana x1,x2,....,xn adalah bilangan-bilangan tak diketahui sedangkan a dan b menyatakan konstanta-konstanta.
Jika kita telusuri letak +, letak x, dan letak =, maka sistem yang terdiri dari m persamaan linier dan n bilangan tak diketahui dapat disingkat dengan hanya menuliskan jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan :

dimana x1,x2,....,xn adalah bilangan-bilangan tak diketahui sedangkan a dan b menyatakan konstanta-konstanta.
Jika kita telusuri letak +, letak x, dan letak =, maka sistem yang terdiri dari m persamaan linier dan n bilangan tak diketahui dapat disingkat dengan hanya menuliskan jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan :

Jajaran ini dinamakan matriks yang diperbesar (augmented matrix) 
2. MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Terdapat beberapa cara atau metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linier . di antara nya
1. metode substitusi-eliminasi
2. metode determinan matriks
3. eliminasi gauss

Metode Determinan Matriks
Nilai x,y dan z SPL pada metode determinan
 matriks dapat diperoleh dengan rumus :
y =     x =      z =


B. BENTUK ESELON BARIS
Bentuk eselon baris dikenal sebagai eliminasi gauss.
Pada eliminasi Gauss-Jordan , kita ubah suatu sistem persamaan linier menjadi sebuah matriks yang diperbesar . kemudian reduksilah matriks di perbesar tesebut menjadi bentuk eselon baris tereduksi .
Agar suatu matriks yang diperbesar merupakan bentuk eselon baris tereduksi, harus memenuhi sifat-sifat berikut :
1. jika terdapat baris pada matriks diperbesar yang mempunyai sedikitnya satu buah
2. jika terdapat baris yang seluruhnya nol. Maka letakkan baris tersebut di bagian bawah matriks
3. jika pada dua buah baris berurutan yang unsurnya bukan nol. Maka satu utama nya harus berada lebih bawah  berada disebelah kanan dari 1 utama yang berada di atasnya.
4. jika di dalam suatu kolom terdapat 1 utama , maka unsur lainnya pada kolom tersebut bernilai nol semua .
Jika syarat 1 sampai dengan 3 terpenuhi, maka disebut sebagai bentuk eselon baris.

Matriks-matriks di bawah ini adalah bentuk eselon baris
  ,     ,      .
Matriks-matriks di bawah ini adalah bentuk eselon tereduksi
,     ,